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)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．
)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．
admin
2019-05-16
93
问题
)设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
—x
2
2
+ax
3
2
+2x
1
x
2
—8x
1
x
3
+2x
2
x
3
在正交变换x=Qy下的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，求以的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案
二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)的矩阵为A=[*]． 由题设知Q
—1
AQ=Q
T
AQ=[*]，A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2．由A的特征方程 [*] =(λ—6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ
1
=6，λ
2
=一3，λ
3
=0， 对于λ
1
=6，解方程组(6I—A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ
1
=[*](1，0，一1)
T
； 对于λ
2
=一3，解方程组(一3I一A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ
2
=[*](1，一1，1)
T
； 对于λ
3
=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ
3
=[*](1，2．1)
T
． Q=(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e6c4777K
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考研数学一
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