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)设二次型f(x1,x2,x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22,求以的值及一个正交矩阵Q.
)设二次型f(x1,x2,x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22,求以的值及一个正交矩阵Q.
admin
2019-05-16
78
问题
)设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
—x
2
2
+ax
3
2
+2x
1
x
2
—8x
1
x
3
+2x
2
x
3
在正交变换x=Qy下的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
,求以的值及一个正交矩阵Q.
选项
答案
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)的矩阵为A=[*]. 由题设知Q
—1
AQ=Q
T
AQ=[*],A的一个特征值为零,所以有 [*] 故得a=2.由A的特征方程 [*] =(λ—6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值,不妨设λ
1
=6,λ
2
=一3,λ
3
=0, 对于λ
1
=6,解方程组(6I—A)x=0,对应的单位特征向量可取为ξ
1
=[*](1,0,一1)
T
; 对于λ
2
=一3,解方程组(一3I一A)x=0,对应的单位特征向量可取为ξ
2
=[*](1,一1,1)
T
; 对于λ
3
=0,解方程组Ax=0,对应的单位特征向量可取为ξ
3
=[*](1,2.1)
T
. Q=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/e6c4777K
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考研数学一
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