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(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并
(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并
admin
2019-03-07
52
问题
(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
,并设2S
1
一S
2
恒为1,求此曲线y=y(x)的方程。
选项
答案
如图,曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线方程为Y—y(x)=y′(x)(X—x),所以切线与x轴的交点为[*] [*] 由于y′(x)>0,y(0)=1,因此y(x)>0(x>0),于是 [*] 根据题设2S
1
一S
2
=1,即[*]两边对x求导并化简得yy"=(y′)
2
,这是可降阶得二阶常微分方程,令p=y′,则 [*] 则上述方程可化为[*]分离变量得[*]解得p=C
1
y,即[*]从而有 y=e
C
1
x+C
2
根据y(0)=1,y′(0)=1,可得C
1
=1,C
2
=0,故所求曲线得方程为y=e
x
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eH04777K
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考研数学一
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