(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

admin2019-03-07 33

问题 (1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁一S₂恒为1，求此曲线y=y(x)的方程。

选项

答案如图，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y(x)=y′(x)(X—x)，所以切线与x轴的交点为[*] [*] 由于y′(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞0(x＞0)，于是 [*] 根据题设2S₁一S₂=1，即[*]两边对x求导并化简得yy"=(y′)²，这是可降阶得二阶常微分方程，令p=y′，则 [*] 则上述方程可化为[*]分离变量得[*]解得p=C₁y,即[*]从而有 y=e^C₁x+C₂ 根据y(0)=1，y′(0)=1，可得C₁=1，C₂=0，故所求曲线得方程为y=e^x。

解析

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考研数学一

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(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

考研数学一

双曲线绕z轴旋转而成的曲面的方程为()

设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则()

已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出。(Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件；(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3

设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，-1，4，1)。(Ⅰ)求向量组的秩；(Ⅱ)求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示。

已知线性方程组有解(1，-1，1，-1)T。(Ⅰ)用导出组的基础解系表示通解；(Ⅱ)写出x=x时的全部解。

(2017年)设薄片型S是圆锥面被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为记圆锥面与柱面的交线为C。(I)求C在xOy面上的投影曲线的方程；(Ⅱ)求S的质量m。

(2002年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)。记(I)证明曲线积分I与路径L无关；(Ⅱ)当ab=cd时，求I的值。

(2014年)设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值。

设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意的常数k，l，向量α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的()

进行根尖诱导时的药物首选

有两方案现金流量及产量如表a所示，要求的收益率为13%。[问题]试用最低价格法对两方案进行比较。

在同一工程中计算疏浚与吹填工程土方量时，竣工后应采用与()相同的计算方法。

出渣是隧道施工的基本作业之一，出渣作业能力的强弱决定了在整个作业循环中的()。

出票人签发空头支票，银行应予以退票，并按票面金额处以5%但不低于1000元的罚款。()

下列金融服务项目下，金融机构发挥了经纪和交易功能的是()。

针对某一方面的心理发展通过在同一时段内对不同年龄的儿童进行比较，迅速找到差异所在的方法，称为()。

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

某汽车销售中心以每辆18万元售出两辆小汽车，与成本相比较，其中一辆获利20％，另一辆则亏损10％，则该中心该笔交易的盈亏额是(　　)。

下列关于生产力的含义和结构阐述正确的有．

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