(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

admin2019-03-07 22

问题 (1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁一S₂恒为1，求此曲线y=y(x)的方程。

选项

答案如图，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y(x)=y′(x)(X—x)，所以切线与x轴的交点为[*] [*] 由于y′(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞0(x＞0)，于是 [*] 根据题设2S₁一S₂=1，即[*]两边对x求导并化简得yy"=(y′)²，这是可降阶得二阶常微分方程，令p=y′，则 [*] 则上述方程可化为[*]分离变量得[*]解得p=C₁y,即[*]从而有 y=e^C₁x+C₂ 根据y(0)=1，y′(0)=1，可得C₁=1，C₂=0，故所求曲线得方程为y=e^x。

解析

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考研数学一

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(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

考研数学一

设un收敛，则下列正确的是()．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则()

设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，-1，4，1)。(Ⅰ)求向量组的秩；(Ⅱ)求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示。

是否存在平面二次曲线y=ax2+bx+c，其图像经过以下各点：(0，1)，(-2，2)，(1，3)，(2，1)。

(2001年)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?

(2011年)设L是柱面方程x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

(2017年)若曲线积分在区域D={(x，y)|x2+y2＜1}内与路径无关，则a=___________。

(2014年)设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值。

(2012年)已知曲线L：其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积。

对随机变量X，已知EekX存在(k＞0常数)，证明：P{X≥ε}≤．E(ekX)，(其中ε＞0)．

关于骨关节结核的叙述中下列哪项不对

内热烦躁，继而汗出热解，烦躁亦减，病机是

巴比妥类不会引起

根据个人所得税法的规定，下列说法不正确的有()。

下列关于税务行政处罚权的表述中，正确的是()。(2009年)

叙写教学目标时，行为的主体应该是教师。

Peopleseldomtrusthimsinceheusuallyfailsto______hispromises.

软件测试的目的是(　　)。

Althoughthefalsebanknotesfooledmanypeople,theydidnot______closeexamination.

(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

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设un收敛，则下列正确的是()．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则()

设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，-1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，-1，4，1)。(Ⅰ)求向量组的秩；(Ⅱ)求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示。

是否存在平面二次曲线y=ax2+bx+c，其图像经过以下各点：(0，1)，(-2，2)，(1，3)，(2，1)。

(2001年)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?

(2011年)设L是柱面方程x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

(2017年)若曲线积分在区域D={(x，y)|x2+y2＜1}内与路径无关，则a=___________。

(2014年)设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值。

(2012年)已知曲线L：其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积。

对随机变量X，已知EekX存在(k＞0常数)，证明：P{X≥ε}≤．E(ekX)，(其中ε＞0)．

关于骨关节结核的叙述中下列哪项不对

内热烦躁，继而汗出热解，烦躁亦减，病机是

巴比妥类不会引起

根据个人所得税法的规定，下列说法不正确的有()。

下列关于税务行政处罚权的表述中，正确的是()。(2009年)

叙写教学目标时，行为的主体应该是教师。

Peopleseldomtrusthimsinceheusuallyfailsto______hispromises.

软件测试的目的是( )。

Althoughthefalsebanknotesfooledmanypeople,theydidnot______closeexamination.

软件测试的目的是(　　)。