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  3. 设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫ab|x一t|ψ(t)dt的图形 ( )

设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫ab|x一t|ψ(t)dt的图形 ( )

admin2015-08-14  147
问题 设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫ab|x一t|ψ(t)dt的图形    (    )
选项 A、在(a，b)内为凸
B、在(a，b)内为凹
C、在(a，b)内有拐点
D、在(a，b)内有间断点
答案B
解析 先将φ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有  φ(x)=∫ax(x一t)ψ(t)dt+∫xb(t一x)ψ(t)dt=s∫axψ(t)dt一∫axtψ(t)dt+∫xbtψ(t)dt—x∫xbψ(t)dt．
    因为ψ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．为讨论其余三个选项，只需求出φ"(x)，讨论φ"(x)在(a，b)内的符号即可．因
    φ’(x)=∫axψ(t)dt一∫xbψ(t)dt，
    φ"(x)=2ψ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=φ(x)的图形为凹．直选(B)．
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考研数学二

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