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设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关,已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量.试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.
设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关,已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量.试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.
admin
2016-10-20
65
问题
设α
i
=(a
i1
,a
i2
,…,a
in
)
T
(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,已知β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量.试判断向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β的线性相关性.
选项
答案
设有一组数k
1
,k
2
,…,k
r
,l,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
+lβ=0 (*) 成立,则因β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是齐次线性方程组 [*] 的解,故有β
T
α
i
=0 (i=1,2,…,r). 对(*)式,左乘β
T
有k
1
β
T
α
1
+k
2
β
T
α
2
+…+k
r
β
T
α
r
+lβ
T
β=0. 得lβ
T
β=0,由于β≠0,知β
T
β=||β||
2
≠0,故l=0. 代入(*)式知k
1
α
2
+k
2
α
2
+…+k
r
α
r
=0,由于向量组α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,所以得 k
1
=k
2
=…=k
r
=0. 因此,向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β线性无关.
解析
因为β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是齐次方程组的解,故有
即β与α
i
(i=1,2,…,r)正交,利用几何直观可知α
i
,α
2
…,α
r
,β线性无关.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eST4777K
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考研数学三
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