设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2016-10-20 42

问题设α_i=(a_i1，a_i2，…，a_in)^T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r线性无关，已知β=(b₁，b₂，…，b_n)^T是线性方程组

的非零解向量．试判断向量组α₁，α₂，…，α_r，β的线性相关性．

选项

答案设有一组数k₁，k₂，…，k_r，l，使得 k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+lβ=0 (*) 成立，则因β=(b₁，b₂，…，b_n)^T是齐次线性方程组 [*] 的解，故有β^Tα_i=0 (i=1，2，…，r)．对(*)式，左乘β^T有k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r+lβ^Tβ=0．得lβ^Tβ=0，由于β≠0，知β^Tβ=｜｜β｜｜²≠0，故l=0．代入(*)式知k₁α₂+k₂α₂+…+k_rα_r=0，由于向量组α₁，α₂，…，α_r线性无关，所以得 k₁=k₂=…=k_r=0．因此，向量组α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．

解析因为β=(b₁，b₂，…，b_n)^T是齐次方程组的解，故有

即β与α_i(i=1，2，…，r)正交，利用几何直观可知α_i，α₂…，α_r，β线性无关．

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考研数学三

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设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量．试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

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设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t)，求：(1)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关；(2)t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关；(3)当线性相关时，将α3表为α1和α2的线性组合．

已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

求下列三重积分

设空间区域Ω＝{(x，y，z)｜x2＋y2＋z2≤a2｝，Ω1＝｛(x，y，z)｜x2＋y2＋z2≤a2，x≥0，y≥0，z≥0｝，则下列等式不成立的是__________．

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