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[2005年] 设函数f(x)=,则f(x)在(一∞,+∞)内( ).
[2005年] 设函数f(x)=,则f(x)在(一∞,+∞)内( ).
admin
2019-04-05
47
问题
[2005年] 设函数f(x)=
,则f(x)在(一∞,+∞)内( ).
选项
A、处处可导
B、恰有一个不可导点
C、恰有两个不可导点
D、至少有三个不可导点
答案
C
解析
先去绝对值求出f(x)的表达式,再根据具体表达式讨论其可导性.因只判断导数是否存在,也可借助函数的图形求解.
解一 当∣x∣<1时,f(x)=
=1.
当∣x∣=1时,f(x)=
=1.
当∣x∣>1时f(x)=
=∣x∣
3
,
故 f(x)=
即 f(x)=
①
显然当∣x∣<1及∣x∣>1时,f(x)均可导.在x=一1处,
f'
-
(一1)=
一(x
2
一x+1)=一3,
f'
+
(一1)=
=0.
因f'
-
(一1)≠f'
+
(一1),由命题1.2.1.5(2)知,f(x)在x=一1处不可导.而在x=1处,
f'
+
(1)=
(x
2
+x+1)=3,
f
-
(1)=
=0,
因f
+
(1)≠f
-
(1),故f(x)在x=1处也不可导.除x=±1外,f(x)在(一∞,+∞)内处处可导.仅(C)入选.
解二 由解一中的式①易求出函数y=f(x)的图形如图1.2.2.1所示.由图1.2.2.1知f(x)在x=±1处不可导.事实上,x=±1为f(x)的图形上的尖点,其余各点f(x)均可导.
仅(C)入选.
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考研数学二
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