2. 考研
  3. 设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

admin2016-09-19  48
问题 设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论：
(1)aij=Aij<=>ATA=E且｜A｜=1；
(2)aij=－Aij<=>ATA=E且｜A｜=－1．
选项
答案(1)当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以tr(AAT)=[*]aij2＞0．而tr(AAT)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0．在AAT=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜n－2=1，｜A｜=1． 反之，若ATA=E且｜A｜=1，则A*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij． (2)当aij=－Aij时，有AT=－A*，则ATA=－A*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以｜A｜=[*]＜0．在ATA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=－1． 反之，若ATA=E且｜A｜=－1，由于A*A=｜A｜E=－E，于是，ATA=－A*A．进一步，由于A可逆，得AT=－A*，即aij=－Aij．
解析
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考研数学三

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