设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

admin2016-09-19 76

问题设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，证明下列结论：
(1)a_ij=A_ij<=>A^TA=E且｜A｜=1；
(2)a_ij=－A_ij<=>A^TA=E且｜A｜=－1．

选项

答案(1)当a_ij=A_ij时，有A^T=A^*，则A^TA=AA^*=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以tr(AA^T)=[*]a_ij²＞0．而tr(AA^T)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，这说明｜A｜＞0．在AA^T=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n－2=1，｜A｜=1．反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A^TA=A^*A，A^T=A^*，即a_ij=A_ij． (2)当a_ij=－A_ij时，有A^T=－A^*，则A^TA=－A^*A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以｜A｜=[*]＜0．在A^TA=－｜A｜E两边取行列式得｜A｜=－1．反之，若A^TA=E且｜A｜=－1，由于A^*A=｜A｜E=－E，于是，A^TA=－A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=－A^*，即a_ij=－A_ij．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ejT4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，证明下列结论： (1)aij=AijATA=E且｜A｜=1； (2)aij=－AijATA=E且｜A｜=－1．

考研数学三

A、 B、 C、 D、 D

某数学家有两盒火柴，每一盒装有N根．每次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一盒空，而另一盒还有k根火柴的概率是多少?

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n

设α1=(2，-1，3，0)，α2=(1，2，0，-2)，α3=(0，-5，3，4)，α4=(-1，3，t，0)，则________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

利用概率测度的性质证明：在投掷两枚硬币的试验中，第一枚是均匀的当且仅当P({(H，H)，(H，T)})=1/2；第二枚硬币是均匀的当且仅当P({(H，H)，(T，H)})=1/2，其中H表示硬币出现的是正面，T表示硬币出现的是反面．

已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，证明：向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

设A与B均为n,阶矩阵，且A与B合同，则()．

设函数z＝f(x，-y)在点P(x，y)处可微，从x轴正向到向量l的转角为θ，从x轴的正向到向量m的转角为θ＋π／2，求证：

求下列函数在指定区间上的最大值、最小值：

设正数列{an}满足，则极限=

因热而致的胎动不安或胎漏下血，宜选用的药物是

在真核细胞肽链合成的起始阶段，推动大亚基与小亚基结合的起始因子是

甲状腺功能亢进症甲状腺肿大最具特征的表现是

甲、乙二人共谋杀丙，同时朝丙开枪。结果甲射出的子弹打偏，没有击中丙，而将另一方向的乙击中，致乙死亡。关于本案甲的定性，以下说法正确的有()(2019／客／1／仿7)客／1／仿7)

下列关于中央银行票据的说法中，错误的是()。

甲因盗窃被公安机关逮捕。在审讯期间，甲主动交代曾实施过抢劫犯罪。甲交代抢劫犯罪的行为属于（）。

以下不属于信息系统概念结构的是(39)________________。

Sixtypeople(employ)______inthisbigfactorylastyear.