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设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明下列结论: (1)aij=AijATA=E且|A|=1; (2)aij=-AijATA=E且|A|=-1.
设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,证明下列结论: (1)aij=AijATA=E且|A|=1; (2)aij=-AijATA=E且|A|=-1.
admin
2016-09-19
56
问题
设A为n(n≥3)阶非零实矩阵,A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式,证明下列结论:
(1)a
ij
=A
ij
<=>A
T
A=E且|A|=1;
(2)a
ij
=-A
ij
<=>A
T
A=E且|A|=-1.
选项
答案
(1)当a
ij
=A
ij
时,有A
T
=A
*
,则A
T
A=AA
*
=|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即a
ij
不全为0,所以tr(AA
T
)=[*]a
ij
2
>0.而tr(AA
T
)=tr(|A|E)=n|A|,这说明|A|>0.在AA
T
=|A|E两边取行列式,得|A|
n-2
=1,|A|=1. 反之,若A
T
A=E且|A|=1,则A
*
A=|A|E=E且A可逆,于是,A
T
A=A
*
A,A
T
=A
*
,即a
ij
=A
ij
. (2)当a
ij
=-A
ij
时,有A
T
=-A
*
,则A
T
A=-A
*
A=-|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即a
ij
不全为0,所以|A|=[*]<0.在A
T
A=-|A|E两边取行列式得|A|=-1. 反之,若A
T
A=E且|A|=-1,由于A
*
A=|A|E=-E,于是,A
T
A=-A
*
A.进一步,由于A可逆,得A
T
=-A
*
,即a
ij
=-A
ij
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ejT4777K
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考研数学三
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