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  3. 已知矩阵 (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA。记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合。

已知矩阵 (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA。记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合。

admin2018-04-08  57
问题 已知矩阵
(Ⅰ)求A99；
(Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA。记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合。
选项
答案(Ⅰ)矩阵A的特征多项式为[*]=λ(λ+1)(λ+2)， 则A的特征值为λ1=－1，λ2=－2，λ3=0。 解线性方程组(λiE—A)x=0(i=1，2，3)可得特征值λ1=－1，λ2=－2，λ3=0对应的特征向量分别为 α1=(1，1，0)T，α2=(1，2，0)T，α3=(3，2，2)T，令P=(α1，α2，α3)，则P－1AP= [*] (Ⅱ)由B2=BA可知，B3=B2A=BAA=BA2，依次类推，B100=BA99，即 (β1，β2，β3)=(α1，α2，α3) [*] 则 β1=(299－2)α1+(2100－2)α2， β2=(1－299)α1+(1－2100)α2， β3=(2－298)α1+(2－299)α2。
解析
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考研数学一

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