设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫0ξf(x)dx＋ξf(ξ)＝0．

admin2021-03-18 33

问题设f(x)在[0，1]上连续，且∫₀¹f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2∫₀^ξf(x)dx＋ξf(ξ)＝0．

选项

答案令[*](x)＝x²∫₀^xf(t)dt，显然[*](0)＝[*](1)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得[*](ξ)＝0，而 [*](x)＝2x∫₀^xf(t)dt＋x²f(x)，于是 2ξ∫₀^ξf(t)dt＋ξ²f(ξ)＝0，而ξ≠0，故2∫₀^ξf(x)dx＋ξf(ξ)＝0．

解析

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考研数学二

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