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设函数f(x)为[0,a]上连续的偶函数,在(0,a)内可导,f(0)=0,∫0af(x)dx=, 证明:存在ξ∈(0,a),使得f’(ξ)+2f(ξ)=1+2ξ.
设函数f(x)为[0,a]上连续的偶函数,在(0,a)内可导,f(0)=0,∫0af(x)dx=, 证明:存在ξ∈(0,a),使得f’(ξ)+2f(ξ)=1+2ξ.
admin
2021-03-16
54
问题
设函数f(x)为[0,a]上连续的偶函数,在(0,a)内可导,f(0)=0,∫
0
a
f(x)dx=
,
证明:存在ξ∈(0,a),使得f’(ξ)+2f(ξ)=1+2ξ.
选项
答案
由f(0)=0,∫
0
a
f(x)dx=[*]得∫
0
a
[f(x)-x]dx=0, 令h(x)=∫
0
x
[f(t)-t]dt, 因为h(0)=h(a)=0,所以存在c∈(0,a),使得h’(c)=0,即f(c)=c. 令[*](x)=e
2x
[f(x)-x], 因为[*](0)=[*](0)=0,所以存在ξ∈(0,c)[*](0,a),使得[*](ξ)=0, 而[*](x)=e
2x
[f’(x)-1+2f(x)-2x]且e
2x
≠0, 故f’(ξ)+2f(ξ)=1+2ξ.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ezy4777K
0
考研数学二
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