2. 考研
  3. 设函数f(x)为[0，a]上连续的偶函数，在(0，a)内可导，f(0)＝0，∫0af(x)dx＝， 证明：存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)＋2f(ξ)＝1＋2ξ．

设函数f(x)为[0，a]上连续的偶函数，在(0，a)内可导，f(0)＝0，∫0af(x)dx＝， 证明：存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)＋2f(ξ)＝1＋2ξ．

admin2021-03-16  56
问题 设函数f(x)为[0，a]上连续的偶函数，在(0，a)内可导，f(0)＝0，∫0af(x)dx＝，
证明：存在ξ∈(0，a)，使得f’(ξ)＋2f(ξ)＝1＋2ξ．
选项
答案由f(0)＝0，∫0af(x)dx＝[*]得∫0a[f(x)－x]dx＝0， 令h(x)＝∫0x[f(t)－t]dt， 因为h(0)＝h(a)＝0，所以存在c∈(0，a)，使得h’(c)＝0，即f(c)＝c． 令[*](x)＝e2x[f(x)－x]， 因为[*](0)＝[*](0)＝0，所以存在ξ∈(0，c)[*](0，a)，使得[*](ξ)＝0， 而[*](x)＝e2x[f’(x)－1＋2f(x)－2x]且e2x≠0， 故f’(ξ)＋2f(ξ)＝1＋2ξ．
解析
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考研数学二

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