令f(x)=x-[x]，求极限

admin2022-08-19 76

问题令f(x)=x-[x]，求极限

选项

答案因为[x+m]=[x]+m(其中m为整数)，所以f(x)=x-[x]是以1为周期的函数，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表达式为[*] 对充分大的x，存在自然数n，使得n≤x＜n+1，则 ∫₀ⁿf(x)dx≤∫₀^xf(x)dx≤∫₀ⁿ⁺¹f(x)dx，而∫₀ⁿf(x)dx=n∫₀¹f(x)dx=n∫₀¹xdx=n/2，同理∫₀ⁿ⁺¹f(x)dx=(n+1)/2，所以n/2≤∫₀^xf(x)dx≤(n+1)/2，由1/(n+1)≤1/x≤1/n，得 [*]

解析

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