设随机变量X在区间[－1，1]上服从均匀分布，随机变量(Ⅰ)Y＝，(Ⅱ)Y＝，试分别求出DY与Cov(X，Y)．

admin2018-11-23 82

问题设随机变量X在区间[－1，1]上服从均匀分布，随机变量(Ⅰ)Y＝

，(Ⅱ)Y＝

，试分别求出DY与Cov(X，Y)．

选项

答案显然Y是X的函数：Y＝g(X)，因此计算DY可以直接应用公式EY＝Eg(X)，或用定义计算． (Ⅰ)已知X～f(χ)＝[*] EY＝Eg(X)＝∫_－∞^＋∞g(χ)f(χ)dz＝∫_－∞⁰(－1)f(χ)dχ＋∫₀^＋∞f(χ)dχ ＝[*]＝0， EY²＝Eg²(X)＝∫_－∞^＋∞g²(χ)f(χ)dχ＝∫_－∞^＋∞f(χ)dχ＝1，故DY＝EY²－(EY)²＝1－0＝1．或者EY＝1×P{Y＝1}＋0×P{Y＝0}＋(－1)×P{Y＝－1} ＝P{X＞0}－P{X＜0}＝[*]＝0，又Y²＝[*]所以 DY＝EY²－(EY)²＝EY²＝P{X≠0}＝P{X＞0}＋P{X＜0}＝1， Cov(X，Y)＝EXY－BXEY＝EXY＝∫_－∞^＋∞χg(χ)f(χ)dχ＝[*]． (Ⅱ)由于Y＝[*]g(X)，故 [*] 又Cov(X，Y)＝EXY－EXEY，其中EX＝0， [*] 所以Cov(X，Y)＝1－[*]

解析

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考研数学一

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