设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)，f”(x)＞0，当x∈(0，1)时，下列结论正确的是( ) ①(1-x)[f(x)-f(0)]＜x[f(1)-f(x)]． ②(1-x)[f(x)-f(0)]＞x[f(1)-f(x)

admin2022-04-27 51

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)，f”(x)＞0，当x∈(0，1)时，下列结论正确的是( )
①(1-x)[f(x)-f(0)]＜x[f(1)-f(x)]．
②(1-x)[f(x)-f(0)]＞x[f(1)-f(x)]．
③x(f(x)-f(0)]＜(1-x)[f(1)-f(x)]．
④x(f(x)-f(0)]＞(1-x)[f(1)-f(x)]．

选项 A、①④．
B、②③．
C、②④．
D、①③．

答案D

解析依题设，如图4-1所示，

①式可变形为

由拉格朗日中值定理，有
f’(ξ₁)=

，ξ₁∈(0，x)，
f’(ξ₂)=

，ξ₂∈(0，x)．
由f”(x)＞0，知f’(x)单调增加，故f’(ξ₁)＜f’(ξ₂)．①正确．
③式可变形为
xf(x)-xf(0)＜f(1)-f(x)-xf(1)+xf(x)．
由f(0)=f(1)，知③式可变形为f(x)＜f(1)．由①正确，知f(x)＜f(0)=f(1)．故③正确．选D．

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考研数学三

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