2. 考研
  3. 设A是n阶反对称矩阵，A*为A的伴随矩阵． (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*为对称矩阵； (Ⅱ)举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．

设A是n阶反对称矩阵，A*为A的伴随矩阵． (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*为对称矩阵； (Ⅱ)举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子； (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．

admin2020-12-10  71
问题 设A是n阶反对称矩阵，A*为A的伴随矩阵．
     (Ⅰ)证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*为对称矩阵；
     (Ⅱ)举一个四阶不可逆的反对称矩阵的例子；
     (Ⅲ)证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．
选项
答案利用反对称矩阵的定义及其性质证之． 解 (Ⅰ)由反对称矩阵定义知，AT=一A，故 ∣A∣=∣AT∣=∣—A∣=(一1)n∣A∣， 即 [1一(一1)n]∣A∣=0． 若n=2k+1，必有∣A∣=0，所以A可逆的必要条件是n为偶数．因AT=一A，由(A*)T=(AT)*有 (A*)T=(AT)*=(一A)*． 又因(kA)*=kn-1A*，故当n=2k+1时，有 (A*)T=(一A)*=(一1)n-1A*=(一1)2kA*=A*， 即A*是对称矩阵． (Ⅱ)例如，[*]是四阶反对称矩阵，且不可逆． (Ⅲ)若λ是A的特征值，有∣λE一A∣=0，那么 ∣一λE一A∣=∣(一λE一A)T∣=∣一λE一AT∣=∣一λE+A∣ =∣一(λE一A)∣=(一1)n∣λE一A∣=0， 所以一λ是A的特征值．
解析
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考研数学二

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