对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a] 证明g’(x)是单调增加的。

admin2022-10-08  41

问题 对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数
g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a]

证明g’(x)是单调增加的。

选项

答案g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt=∫-ax(x-t)f(t)dt+∫xa(t-x)f(t)dt =x∫-axf(t)dt-∫-axtf(t)dt+∫xatf(t)dt-x∫xaf(t)dt 因f(t)连续,故上式右边可导,于是 g’(x)=∫-axf(t)dt+xf(x)-xf(x)-xf(x)-∫xaf(t)dt+xf(x) =∫-axf(t)dt+∫axf(t)dt g"(x)=2f(x) ① 又因f(x)>0,知g"(x)>0,由此可以得出g’(x)为单调增函数。

解析
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