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对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a] 证明g’(x)是单调增加的。
对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数 g(x)=∫-aa|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a] 证明g’(x)是单调增加的。
admin
2022-10-08
59
问题
对于一切实数t,函数f(t)连续的正函数且可导,同时有f(-t)=f(t),又函数
g(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt,a>0,x∈[-a,a]
证明g’(x)是单调增加的。
选项
答案
g(x)=∫
-a
a
|x-t|f(t)dt=∫
-a
x
(x-t)f(t)dt+∫
x
a
(t-x)f(t)dt =x∫
-a
x
f(t)dt-∫
-a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt-x∫
x
a
f(t)dt 因f(t)连续,故上式右边可导,于是 g’(x)=∫
-a
x
f(t)dt+xf(x)-xf(x)-xf(x)-∫
x
a
f(t)dt+xf(x) =∫
-a
x
f(t)dt+∫
a
x
f(t)dt g"(x)=2f(x) ① 又因f(x)>0,知g"(x)>0,由此可以得出g’(x)为单调增函数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fYR4777K
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考研数学三
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