已知随机变量X的分布函数FX(x)=(λ＞0)，Y=lnX．(I)求Y的概率密度fY(y)；(Ⅱ)计算

admin2018-11-20 50

问题已知随机变量X的分布函数F_X(x)=

(λ＞0)，Y=lnX．(I)求Y的概率密度f_Y(y)；(Ⅱ)计算

选项

答案(I)由题设知X的概率密度f_X(x)=[*]所以Y的分布函数 F_Y(y)=P{Y≤y}=P{lnX≤y}(y∈R)．由于P{X＞1}=1，故当y≤0时F_Y(y)=0；当y＞0时， F_Y(y)=P{1＜X＜e^y}=[*]=1—e^-λy．于是 [*] 故Y=lnX的概率密度 [*] 可见，Y服从参数为λ的指数分布． (Ⅱ)P{Y≥k}=∫_k^+∞λe^-λydy=e^-λk，由于λ＞0，0＜e^-λ＜1，故 [*]

解析

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