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设n阶矩阵A≠O,存在某正整数m,使Am=O,证明:A必不相似于对角矩阵.
设n阶矩阵A≠O,存在某正整数m,使Am=O,证明:A必不相似于对角矩阵.
admin
2016-06-30
44
问题
设n阶矩阵A≠O,存在某正整数m,使A
m
=O,证明:A必不相似于对角矩阵.
选项
答案
可用反证法:设λ为A的任一特征值,χ为对应的特征向量,则有Aχ=λχ,[*]A
2
χ=λAχ=λ
2
χ…,[*]A
m
χ=λ
m
χ,因A
m
=O,χ≠0,得λ=0,故A的特征值都是零,因此,若A可相似对角化,即存在可逆矩阵P,使p
-1
AP=diag(0,0,…,0)=O,则A=POP
-1
=O,这与A≠0矛盾.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/g9t4777K
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考研数学二
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