2. 考研
  3. 证明：若f与g都在[a，b]上可积，且g(x)在[a，b]上不变号，M，m分别为f(x)在[a，b]上的上、下确界，则必存在某实数(m≤μ≤M)，使得 ∫abf(x)g(x)dx=μ∫abg(x)dx．

证明：若f与g都在[a，b]上可积，且g(x)在[a，b]上不变号，M，m分别为f(x)在[a，b]上的上、下确界，则必存在某实数(m≤μ≤M)，使得 ∫abf(x)g(x)dx=μ∫abg(x)dx．

admin2022-11-23  6
问题 证明：若f与g都在[a，b]上可积，且g(x)在[a，b]上不变号，M，m分别为f(x)在[a，b]上的上、下确界，则必存在某实数(m≤μ≤M)，使得
    ∫abf(x)g(x)dx=μ∫abg(x)dx．
选项
答案不妨设g(x)≥0，x∈[a，b]．因m≤f(x)≤M，x∈[a，b]，所以有 mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)，[*]x∈[a，b]， 由定积分的不等式性质，得 m∫abg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤M∫abg(x)dx． 若∫abg(x)dx=0，则由上式知∫abf(x)g(x)dx=0，从而对任何实数μ∈[m，M]均有 ∫abf(x)g(x)dx=μ∫abg(x)dx； 若∫abg(x)dx＞0，则得[*] 令[*]，则m≤μ≤M，且∫abf(x)g(x)dx=μ∫abg(x)dx．
解析
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考研数学三

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