2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0． (Ⅰ)证明a1，a2，…，an线性无关； (Ⅱ)求A的特征值、特征向量．

设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0． (Ⅰ)证明a1，a2，…，an线性无关； (Ⅱ)求A的特征值、特征向量．

admin2015-12-22  32
问题 设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0．
    (Ⅰ)证明a1，a2，…，an线性无关；
    (Ⅱ)求A的特征值、特征向量．
选项
答案(1)利用线性无关的定义证之；(2)利用相关矩阵的性质求之． 解 (1)令 k1α1+k2α2+…+knαn=0． ① 由题设 Aα1=α2， Aα2=α3， …， Aαn一1=αn， 有 Anα1=An一1α2=…=Aan=0． 将An一1左乘式①，得k1αn=0．由于αn≠0，故k1=0． 再依次用An一2，An一3，…乘式①，可得 k2=k3=…=kn=0， 所以α1，α2，…，αn线性无关． (2)由于 A[α1，α2，…，αn]=[α2，α3，…，αn，0] [*] 因为α1，α2，…，αn线性无关，矩阵[α1，α2，…，αn]可逆，从而 [*] 得知A的特征值全为0．又因 秩(A)=秩(B)=n一1， 所以Ax=0的基础解系由n一秩(A)=1个向量组成，由Aαn=0·αn知，A的线性无关的特征向量为αn，全部特征向量为kαn，k≠0为任意常数．
解析
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考研数学二

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