A是n阶矩阵，下列命题中错误的是( )．

admin2020-12-17 59

问题 A是n阶矩阵，下列命题中错误的是( )．

选项 A、若A²＝E，则一1必是A的特征值
B、若秩(A＋E)＜n，则一1必是A的特征值
C、若A中各列元素之和均为一1，则一1必是A的特征值
D、若A是正交矩阵，且特征值乘积小于0，则一1也必是A的特征值．

答案A

解析利用特征值定义讨论之．对于具有特殊性质的矩阵，要灵活运用特征值定义．
解一对于(A)，若A²＝E，A的特征值的取值范围是±1，但并不保证A必有特征值1或一1，例如

可见(A)不正确．仅(A)入选．
解二用排他法求之．下面逐一验证选项(B)、(C)、(D)都正确，从而仅(A)入选
对于(B)，由r(A＋E)＜n知，
｜A＋E｜＝｜A－(－E)｜＝0．
由特征值定义知，一1必是A的特征值．(B)正确．
对于(C)，A与A^T有相同的特征值(注意特征向量一般是不同的)，由于A^T各行元素之和均为一1，从而有

由特征值定义知，一1为A^T的特征值，也必是A的特征值．(C)正确．
对于(D)，A为正交矩阵，有AA^T＝E，从而｜A｜＝±1．又特征值之积小于零，那么｜A｜＝一1．又因
｜E＋A｜＝｜AA^T＋A｜＝｜A(A^T＋E)｜＝｜A(A^T＋E^T)｜
＝｜A｜｜A＋E｜＝－｜A＋E｜，
故｜E＋A｜＝0，即｜A－(－1)E｜＝0，从而一1必是A的特征值．(D)正确．

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考研数学三

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