设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η)

admin2018-09-20  47

问题 设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0.
证明:(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
(2)在(a,b)内至少存在一点η,且η≠ξ,使得f"(η)=f(η).

选项

答案(1)由积分中值定理知,至少存在一点c∈(a,b),使得 [*] 设G(x)=e-xf(x),则G(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且G(a)=G(b)=G(c)=0, G’(x)=e-xf’(x)一e-xf(x)=e-x[f’(x)一f(x)].由罗尔定理知,分别存在ξ1∈(a,c)和ξ2∈(c,b), 使得G’(ξ1)=G’(ξ2)=0,从而f’(ξ1)=f(ξ1),f’(ξ2)=f(ξ2). (2)设F(x)=ex[f’(x)一f(x)],则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(ξ1)=F(ξ2)=0, 则 F’(x)=ex[f"(x)一f’(x)]+ex[f’(x)一f(x)]=ex[f"(x)一f(x)]. 对F(x)在区间[ξ1,ξ2]上应用罗尔定理,即存在η∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得F’(η)=0,故有 f”(η)=f(η),且η≠ξi(i=1,2).

解析
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