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设η1,η2,η3为3个n维向量,已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η1,η2,η3线性表示,并且r(A)=n-3,证明η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系.
设η1,η2,η3为3个n维向量,已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η1,η2,η3线性表示,并且r(A)=n-3,证明η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系.
admin
2020-03-16
72
问题
设η
1
,η
2
,η
3
为3个n维向量,已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η
1
,η
2
,η
3
线性表示,并且r(A)=n-3,证明η
1
,η
2
,η
3
为AX=0的一个基础解系.
选项
答案
因为r(A)=n-3,所以AX=0的基础解系包含3个解.设γ
1
,γ
2
,γ
3
是AX=0的一个基础解系,则条件说明γ
1
,γ
2
,γ
3
可以用η
1
,η
2
,η
3
线性表示.于是有下面的关于秩的关系式: 3=r(γ
1
,γ
2
,γ
3
)≤r(η
1
,η
2
,η
3
;γ
1
,γ
2
,γ
3
)=r(η
1
,η
2
,η
3
)≤3, 从而r(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=r(η
1
,η
2
,η
3
;γ
1
,γ
2
,γ
3
)=r(η
1
,η
2
,η
3
), 这说明η
1
,η
2
,η
3
和γ
1
,γ
2
,γ
3
等价,从而η
1
,η
2
,η
3
也都是AX=0的解;又r(η
1
,η
2
,η
3
)=3,即η
1
,η
2
,η
3
线性无关,因此是AX=0的一个基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hOA4777K
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考研数学二
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