有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根

admin2017-04-24 71

问题有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm³／mln的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)

(1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
(2)求曲线x=φ(y)的方程．

选项

答案(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ²(y)=4π+πt 从而 t=φ²(y)一4 (2)液面高度为y时，液体的体积为 π∫₀^yφ²(u) du=3t=3φ²(y)一12 上式两边对y求导得 πφ²(y)=6φ(y)φ^’(y) 解此方程得 φ(y)=[*] 由φ(0)=2知C=2．故所求曲线方程为 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

计算xydδ，其中D是由直线y=1,x=2,y=x所围成的区域。

求函数z=arcsin(2x)+的定义域。

A、连续但不可导B、可导但导数不连续C、导数连续D

设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=，b=．

设y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=sin3x+2确定，则dy/dx｜x=0=________．

A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点A

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

设y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解。

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x2-3x3+4x1x2-4x1x3+8x2x3．写出二次型f的矩阵表达式；

设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．(Ⅰ)写出f(x)在[-2，0]上的表达式；(Ⅱ)问k为何值时，f(x)在x=0处可导．

15岁女性，月经周期7～10／24～26，量多。此次月经持续十多天未净，量不多。基础体温呈“单相”型。较合适的治疗方法是()

A．无痛性全程肉眼血尿B．终末血尿伴膀胱刺激征C．初始血尿D．疼痛伴血尿E．血红蛋白尿泌尿系结核血尿特点是

正常情况下，胃黏膜不会被胃液所消化，是由于

A．发生潮解而失效B．发生氧化而失效C．发生风化而失效D．发生液化而失效E．发生碳酸化而失效

根据《中华人民共和国民法通则》的规定，法人应当具备的条件包括()。

()对于家具相当于花岗岩对于()

一下程序找出50以内所有能构成直角三角形的整数组。阅读下列程序，并完成程序。PrivateSubCommandlC土ick()Fora＝lto50Forb＝ato50C＝Sqr(a2＋b2)If【】then

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计算xydδ，其中D是由直线y=1,x=2,y=x所围成的区域。

求函数z=arcsin(2x)+的定义域。

A、连续但不可导B、可导但导数不连续C、导数连续D

设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=________，b=________．

设y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=sin3x+2确定，则dy/dx｜x=0=________．

A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点A

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

设y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解。

已知二次型f(x1，x2，x3)=4x2-3x3+4x1x2-4x1x3+8x2x3．写出二次型f的矩阵表达式；

设函数f(x)在(-∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2-4)，若对任意的x都满足f(x)=kf(x+2)，其中k为常数．(Ⅰ)写出f(x)在[-2，0]上的表达式；(Ⅱ)问k为何值时，f(x)在x=0处可导．

15岁女性，月经周期7～10／24～26，量多。此次月经持续十多天未净，量不多。基础体温呈“单相”型。较合适的治疗方法是()

A．无痛性全程肉眼血尿B．终末血尿伴膀胱刺激征C．初始血尿D．疼痛伴血尿E．血红蛋白尿泌尿系结核血尿特点是

正常情况下，胃黏膜不会被胃液所消化，是由于

A．发生潮解而失效B．发生氧化而失效C．发生风化而失效D．发生液化而失效E．发生碳酸化而失效

根据《中华人民共和国民法通则》的规定，法人应当具备的条件包括()。

()对于家具相当于花岗岩对于()

一下程序找出50以内所有能构成直角三角形的整数组。阅读下列程序，并完成程序。PrivateSubCommandlC土ick()Fora＝lto50Forb＝ato50C＝Sqr(a2＋b2)If【】then

设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=，b=．