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设A和B均为n阶方阵,且满足A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B,证明:AB=0.
设A和B均为n阶方阵,且满足A2=A,B2=B,(A+B)2=A+B,证明:AB=0.
admin
2020-06-05
12
问题
设A和B均为n阶方阵,且满足A
2
=A,B
2
=B,(A+B)
2
=A+B,证明:AB=0.
选项
答案
由于A
2
=A,B
2
=B,(A+B)
2
=A+B,而 (A+B)
2
=A
2
+AB+BA+B
2
=A+AB+BA+B=A+B 所以AB+BA=0,即AB=﹣BA.两边左乘A得A
2
B=﹣ABA.再由AB=﹣BA及A
2
=A得 AB=A
2
B=﹣ABA=﹣(AB)A=﹣(﹣BA)A=BA
2
=BA 即AB=BA.由等式AB=﹣BA=BA得AB=0.
解析
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考研数学一
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