2. 考研
  3. 设A和B均为n阶方阵，且满足A2＝A，B2＝B，(A＋B)2＝A＋B，证明：AB＝0．

设A和B均为n阶方阵，且满足A2＝A，B2＝B，(A＋B)2＝A＋B，证明：AB＝0．

admin2020-06-05  7
问题 设A和B均为n阶方阵，且满足A2＝A，B2＝B，(A＋B)2＝A＋B，证明：AB＝0．
选项
答案由于A2＝A，B2＝B，(A＋B)2＝A＋B，而 (A＋B)2＝A2＋AB＋BA＋B2＝A＋AB＋BA＋B＝A＋B 所以AB＋BA＝0，即AB＝﹣BA．两边左乘A得A2B＝﹣ABA．再由AB＝﹣BA及A2＝A得 AB＝A2B＝﹣ABA＝﹣(AB)A＝﹣(﹣BA)A＝BA2＝BA 即AB＝BA．由等式AB＝﹣BA＝BA得AB＝0．
解析
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考研数学一

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