设f(x)=xTAx为一n元二次型,且有Rn中的向量x1和x2,使得f(x1)>0,f(x2)<0.证明:存在Rn中的向量x0≠0,使f(x0)=0.

admin2017-07-26  44

问题 设f(x)=xTAx为一n元二次型,且有Rn中的向量x1和x2,使得f(x1)>0,f(x2)<0.证明:存在Rn中的向量x0≠0,使f(x0)=0.

选项

答案令向量x0=tx1+x2,其中t为待定实数,选择t,使f(x0)=0,即 x0TAx0=(tx1+x2)TA(tx1+x2) =(tx1T+x2T)A(tx1+x2) =t2x1TAx1+2tx1TAx2+x2TAx2=0, 记实数a=x1TAx1,b=x1TAx2,c=x2TAx2,则由题设条件知a>0,c<0.于是上式可写为 at2+2bt+c=0. 由于关于t的这个二次方程有a>0,判别式△=4b2一4ac>0,故该方程必有实根t0≠0,于是有向量x0=tx1+x2≠0(否则t0x1+x2=0,则x2=一t0x1,于是f(x2)=x2TAx2=(一t0x1)TA(一t0x1)=t02x1TAx1>0,它与已知的f(x2)<0相矛盾),使得 f(x0)=x0TAx0=at02+abt0+c=0.

解析
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