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以下3个命题: ①若数列{un}收敛于A,则其任意子数列{uni}必定收敛于A; ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A,则该数列必定收敛于A; ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A,则数列{xn}必定收敛于A. 正确的个数为
以下3个命题: ①若数列{un}收敛于A,则其任意子数列{uni}必定收敛于A; ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A,则该数列必定收敛于A; ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A,则数列{xn}必定收敛于A. 正确的个数为
admin
2015-07-22
93
问题
以下3个命题:
①若数列{u
n
}收敛于A,则其任意子数列{u
n
i
}必定收敛于A;
②若单调数列{x
n
}的某一子数列{x
n
i
}收敛于A,则该数列必定收敛于A;
③若数列{x
2n
}与{x
2n+1
}都收敛于A,则数列{x
n
}必定收敛于A.
正确的个数为 ( )
选项
A、0
B、1
C、2
D、3
答案
D
解析
对于命题①,由数列收敛的定义可知,若数列{u
n
}收敛于A,则对任意给定的ε>0,存在自然数N,当n>N时,恒有
|u
n
一A|<ε,
则当n
i
>N时,恒有
|u
n
i
一A|<ε,
因此数列{u
n
}也收敛于A,可知命题正确.
对于命题②,不妨设数列{x
n
}为单调增加的,即
x
1
≤x
2
≤…≤x
n
≤…,
其中某一给定子数列{x
n
}收敛于A,则对任意给定的ε>0,存在自然数N,当n
i
>N时,恒有
|x
n
i
一A|<ε.
由于数列{x
n
}为单调增加的数列,对于任意的n>N,必定存在n
i
≤n≤n
i+1
,有
一ε
n
i
—A≤x
n
一A≤x
n
i+1
一A<ε,从而
|x
n
一A|<ε.
可知数列{x
n
}收敛于A因此命题正确.
对于命题③,因
由极限的定义可知,对于任意给定的ε>0,必定存在自然数N
1
,N
2
;
当2n>N
1
时,恒有
|x
2n
一A|<ε;
当2n+1>N
2
时,恒有
|x
2n+1
一A|<ε.
取N=max{N
1
,N
2
),则当n>N时,总有
|x
n
一A|<ε.
因此
=A.可知命题正确.故答案选择(D).
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考研数学三
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