设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2． (1)求A的特征值． (2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?

admin2018-11-23 32

问题设A是3阶实对称矩阵，满足A²＋2A＝0，并且r(A)＝2．
(1)求A的特征值．
(2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?

选项

答案(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ²＋2λ是A²＋2A的特征值．而A²＋2A＝0，因此λ²＋2λ＝0，故λ＝0或－2．又因为r(A－0E)＝r(A)＝2，特征值0的重数为3－r(A－0E)＝1，所以－2是A的二重特征值．A的特征值为0，－2，－2． (2)A＋kE的特征值为k，k－2，k－2．于是当k＞2时，实对称矩阵A＋kE的特征值全大于0，从而A＋kE是正定矩阵．当k≤2时，A＋kE的特征值不全大于0，此时A＋kE不正定．

解析

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考研数学一

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