设矩阵A的伴随矩阵A*=，且 ABA-1=BA-1+3E． ① 求矩阵B．

admin2016-10-20 36

问题设矩阵A的伴随矩阵A^*=

，且
ABA^-1=BA^-1+3E． ①
求矩阵B．

选项

答案由｜A^*｜=｜A｜^n-1，有｜A｜³=8，得｜A｜=2．又因(A-E)BA^-1=3E，有(A-E)B=3A，左乘A^*，得 (｜A｜E-A^*)B=3｜A｜E，即(2E-A^*)B=6E．故B=6(2E-A^*)^-1． [*]

解析对矩阵方程①化简，右乘A得
AB-B=3A

(A-E)B=3A．
由于已知条件是A^*，可继续变形，用A^*左乘上式并用关系式AA^*=A^*A=｜A｜E得
B=3｜A｜(｜A｜E-A^*)^-1．
因此，应先求出｜A｜，再求逆．

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