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设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (I)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v).
设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求: (I)U=XY的概率密度fU(u); (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v).
admin
2019-01-05
48
问题
设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,试求:
(I)U=XY的概率密度f
U
(u);
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度f
V
(v).
选项
答案
根据X与Y相互独立且密度函数已知,因此可以用两种方法:分布函数法和公式法求出U、V的概率密度. (I)分布函数法.根据题设知(X,Y)联合概率密度 [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3—7所示) [*] (1)当u≤0时,F
U
(u)=0;当u≥1时,F
U
(u)=1; (2)当0<u<1时, [*] (Ⅱ)公式法.设Z=X—Y=X+(一Y).其中X与(一Y)独立,概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
X
(z—y)f
-Y
(y)dy=∫
-1
0
f
X
(z—y)dy [*] V=|X—Y|=|Z|的分布函数为F
V
(v)=P{|Z|≤v|,可得 当v≤0时,F
V
(v)=0;当v>0时,F
V
(v)=P{一v≤Z≤v}=∫
-v
v
f
Z
(z)dz; 由此知,当0<v<1时, F
V
(v)=∫
-v
0
(z+1)dz+∫
0
v
(1一z)dz=2v-v
2
; 当v≥1时, F
V
(v)=∫
-v
-1
0dz+∫
-1
0
(z+1)dz+∫
0
1
(1一z)dz+∫
1
v
0dz=1. 综上可得 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iqW4777K
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考研数学三
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