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  3. 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (I)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．

设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (I)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．

admin2019-01-05  28
问题 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(I)U=XY的概率密度fU(u)；
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(v)．
选项
答案根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V的概率密度． (I)分布函数法．根据题设知(X，Y)联合概率密度 [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3—7所示) [*] (1)当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1； (2)当0＜u＜1时， [*] (Ⅱ)公式法．设Z=X—Y=X+(一Y)．其中X与(一Y)独立，概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 fZ(z)=∫-∞+∞fX(z—y)f-Y(y)dy=∫-10fX(z—y)dy [*] V=|X—Y|=|Z|的分布函数为FV(v)=P{|Z|≤v|，可得 当v≤0时，FV(v)=0；当v＞0时，FV(v)=P{一v≤Z≤v}=∫-vvfZ(z)dz； 由此知，当0＜v＜1时， FV(v)=∫-v0(z+1)dz+∫0v(1一z)dz=2v-v2； 当v≥1时， FV(v)=∫-v-10dz+∫-10(z+1)dz+∫01(1一z)dz+∫1v0dz=1． 综上可得 [*]
解析
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考研数学三

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