(16年)设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．

admin2017-05-26 43

问题 (16年)设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ²＜y＜

}上服从均匀分布，令

(Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度；
(Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由；
(Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．

选项

答案(Ⅰ)区域D如图(a)，面积为S_D＝[*]，由题意，(X，Y)的概率密度为 [*] (Ⅱ)由题意，P(U≤0)＝P(U＝0)＝P(X＞Y) ＝[*] D₁见图(b) [*] 可见[*]，故U与X不独立． (Ⅲ)F(z)＝P(Z≤z)＝P(U＋X≤z)＝P(U＋X≤z，U＝0)＋P(U＋X≤z，U＝1)＝P(X≤ z，X＞Y)＋P(X≤z－1，X≤Y) 可见，z＜0时，F(z)＝0； z≥2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)，P(X≤z－1，X≤Y)＝P(X≤Y) 所以F(z)＝P(X＞Y)＋P(X≤Y)＝1； 0≤z＜1时，由－1≤z－1＜0，知P(X≤z－1，X≤Y)＝0，而P(X≤z，X＞Y)＝[*]，G₂见图(e)．故F(z)＝[*]z²－z³； 1≤z＜2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)＝[*]，这时0≤z－1＜1，有 P(X≤z－1，X≤Y)＝[*] G₃见图(f)．所以F(z)＝[*] [*]

解析

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考研数学三

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(16年)设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．

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