求正交变换化二次型x12+x22+x32—4x1x2—4x2x3—4x1x3为标准形．

admin2018-06-14 47

问题求正交变换化二次型x₁²+x₂²+x₃²—4x₁x₂—4x₂x₃—4x₁x₃为标准形．

选项

答案二次型矩阵A=[*]，由特征多项式｜λE—A｜=[*]=(λ+3)(λ一3)²，得特征值为 λ₁=λ₂=3，λ₃=一3．由(3E—A)x=0得基础解系α₁=(一1，1，0)^T，α₂=(一1，O，1)^T，即λ=3的特征向量是α₁，α₂．由(一3E一A)x=0得基础解系α₃=(1，1，1)^T．对α₁，α₂经Schmidt正交化，有 β₁=α₁， β₂=α₂一[*]。单位化，得 [*] 那么，令x=Qy，其中Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则有f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^T[*]y=3y₁²+3y₂²一3y₃²．

解析

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考研数学三

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设A是3阶矩阵α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，且Aα1=α1-α2+3α3，Aα2=4α1-3α2+5α3，Aα3=0.求矩阵A的特征值和特征向量．
已知A是3阶实对称矩阵，且Aα=α，其中α=(1，1，2)T．如果A的另外两个特征值是2和-1，又λ=2的特征向量是(2，0，-1)T，则λ=-1的特征向量是________.
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设A是n阶正定矩阵，α1，α2，…，αn是n维非零列向量，且αiTAαj=0(i≠j)，证明α1，α2，…，αm线性无关．
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