2. 考研
  3. 设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，f(x)／x3存在． 证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx，a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．

设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，f(x)／x3存在． 证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx，a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．

admin2018-05-21  22
问题 设f(x)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，f(x)／x3存在．
证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx，a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．
选项
答案上式两边积分得∫－aaf(x)dx=1／24∫－aaf(4)(ξ)x4dx． 因为f(4)(x)在[－a，a]上为连续函数，所以f(4)(x)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mx4≤f(4)(ξ)x4≤Mx4， 两边在[－a，a]上积分得2m／5a5≤∫－aaf(4)(ξ)x4dx≤2M／5a5， 从而ma5／60≤1／24∫－aaf(4)(ξ)x4dx≤Ma5／60，或ma5／60≤∫－aaf(x)dx≤Ma5／60， 于是m≤60／a5∫－aaf(x)dx≤M， 根据介值定理，存在ξ1∈[－a，a]，使得f(4)(ξ1)=60／a5∫－aaf(x)dx，或a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx． 再由积分中值定理，存在ξ2∈[－a，a]，使得 a5f(4)(ξ1)=60∫－aaf(x)dx=120af(ξ2)，即a4f(4)(ξ1)=120f(ξ2)．
解析
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考研数学一

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