设f(χ)在[0，1]上连续，且满足∫01f(χ)dχ＝0，∫01χf(χ)dχ＝0，求证：f(χ)在(0，1)内至少存在两个零点．

admin2016-10-21 42

问题设f(χ)在[0，1]上连续，且满足∫₀¹f(χ)dχ＝0，∫₀¹χf(χ)dχ＝0，求证：f(χ)在(0，1)内至少存在两个零点．

选项

答案令F(χ)＝∫₀^χf(t)dt，G(χ)＝∫₀^χF(s)ds，显然G(χ)在[0，1]可导，G(0)＝0，又 [*] 对G(χ)在[0，1]上用罗尔定理知，[*]c∈(0，1)使得G′(c)＝F(c)＝0．现由F(χ)在[0，1]可导，F(0)＝F(c)＝F(1)＝0，分别在[0，c]，[c，1]对F(χ)用罗尔定理知．[*]ξ₁∈(0，c)，ξ₂∈(c，1)，使得F′(ξ₁)＝f(ξ₁)＝0，F′(ξ₂)＝f(ξ₂)＝0，即f(χ)在(0，1)内至少有在两个零点．

解析

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