已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α＝3Aα－2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

admin2018-06-12 38

问题已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A²α线性无关，且A³α＝3Aα－2A²α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

选项

答案由于A³α＋2A²α－3Aα＝0，有 A(A²α＋2Aα－3α)＝0＝0(A²α＋2Aα－3α)．因为α，Aα，A²α线性无关，故必有A²α＋2Aα－3α≠0．所以λ＝0是A的特征值，而k₁(A²α＋2Aα－3α)(k₁≠0)是矩阵A属于特征值λ＝0的特征向量．类似地，A³α＋2A²α－3Aα＝0，有 (A－E)(A²α＋3Aα)＝0＝0(A²α＋3Aα)， (A＋3E)(A²α－Aα)＝0＝0(A²α－Aα)．所以，λ＝1是A的特征值，而k₂(A²α＋3Aα)(k₂≠0)是属λ＝1的特征向量；λ＝－3是A的特征值，而k₃(A²α－Aα)(k₃≠0)是属于λ＝－3的特征向量．

解析

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考研数学一

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已知3阶矩阵A与3维列向量α，若α，Aα，A2α线性无关，且A3α＝3Aα－2A2α，试求矩阵A的特征值与特征向量．

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