设A为n阶矩阵．已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得Akβ≠0，但Ak+1β=0，则向量组β，Aβ，A2β，…，Akβ线性无关；

admin2017-06-14 10

问题设A为n阶矩阵．
已知β为n维非零列向量，若存在正整数k，使得A^kβ≠0，但A^k+1β=0，则向量组β，Aβ，A²β，…，A^kβ线性无关；

选项

答案设 x₀β+x₁Aβ+x₂A²β+…+x_kA^kβ=0，上式两边左乘矩阵A^k，由A^k+1β=0，A^k+2β=A(A^k+1β)=A．0=0，…，A^k+kβ=0，可得 A^k(x₀β+x₁Aβ+x₂A²β+…+x_kA^kβ)=x₀A^kβ=0，而A^kβ≠0，有x₀=0．同理，再在等式两边依次乘矩阵A^k－1，A^k－2，…，A²，A，可得x₁=x₂=…=x_k=0，故向量组β，Aβ，A²β，…，A^Kβ线性无关．

解析

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考研数学一

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函数f(x)=展开成x的幂级数为___________．
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设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

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