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设A为n阶矩阵. 已知β为n维非零列向量,若存在正整数k,使得Akβ≠0,但Ak+1β=0,则向量组β,Aβ,A2β,…,Akβ线性无关;
设A为n阶矩阵. 已知β为n维非零列向量,若存在正整数k,使得Akβ≠0,但Ak+1β=0,则向量组β,Aβ,A2β,…,Akβ线性无关;
admin
2017-06-14
18
问题
设A为n阶矩阵.
已知β为n维非零列向量,若存在正整数k,使得A
k
β≠0,但A
k+1
β=0,则向量组β,Aβ,A
2
β,…,A
k
β线性无关;
选项
答案
设 x
0
β+x
1
Aβ+x
2
A
2
β+…+x
k
A
k
β=0, 上式两边左乘矩阵A
k
,由A
k+1
β=0,A
k+2
β=A(A
k+1
β)=A.0=0,…,A
k+k
β=0,可得 A
k
(x
0
β+x
1
Aβ+x
2
A
2
β+…+x
k
A
k
β)=x
0
A
k
β=0,而A
k
β≠0,有x
0
=0. 同理,再在等式两边依次乘矩阵A
k-1
,A
k-2
,…,A
2
,A,可得x
1
=x
2
=…=x
k
=0, 故向量组β,Aβ,A
2
β,…,A
K
β线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jdu4777K
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