2. 考研
  3. 设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

admin2019-05-10  58
问题 设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．
选项
答案证明时由条件ξTξ=1自然想到要利用结论，这时用反证法最简．注意到A=E一ξξT≠E．如果A可逆，则得到A=E的矛盾． 证一 当ξTξ=1时，由(1)有A2=A．如果A可逆，则A-1A2=A-1A，即A=E．这与A≠E矛盾，故A不可逆． 证二 因A=E－ξξT，故Aξ=ξ一ξξTξ．当ξTξ=1时，有Aξ=0．由于ξ≠0，AX=0有非零解．由命题2．1．2．6知∣A∣=0，A不可逆．
解析
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考研数学二

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