设α1 ,α2 ,α3 ,α4为四维非零列向量,A=[α1 ,α2 ,α3 ,α4],A*为A的伴随矩阵,又知方程组AX=0的基础解系为[1,0,2,0]T ,则方程组A*X=0的基础解系为( ).

admin2016-12-16  64

问题 设α1 ,α2 ,α3 ,α4为四维非零列向量,A=[α1 ,α2 ,α3 ,α4],A*为A的伴随矩阵,又知方程组AX=0的基础解系为[1,0,2,0]T ,则方程组A*X=0的基础解系为(     ).

选项 A、α1 ,α2 ,α3
B、α12 ,α23 ,α31
C、α2 ,α3 ,α4
D、α12 ,α23α34 ,α41

答案C

解析 由AX=0的基础解系所含解向量个数为1知,
n一r(A)=4一r(A)=1,故r(A)=3.
因而可确定r(A*)=1,于是A*X=0的一个基础解系含3个解向量.
由AX=0的基础解系仅含有一个解向量知,r(A)=3,从而r(A*)=1,于是方程组
A*X=0的基础解系中仅含3个解向量.
又    A*A=A*1 ,α2 ,α3 ,α4]=|A|E=0,
所以向量α1 ,α2 ,α3 ,α4是方程组A*X=0的解,因为[1,0,2,0]T是AX=0的解,故有α1+2α3
=0,即α1 ,α3线性相关,从而向量组α1 ,α2 ,α3和向量组α1 ,α2 ,α3 ,α4均线性相关,故排除(A)、(B)、(D).又因r(A)=r(α1 ,α2 ,α3 ,α4)=3,故α2 ,α3 ,α4线性无关、仅(C)入选,
由解一知,α1 ,α2 ,α3 ,α4均为A*X=0的解向量,且其基础解系只含3个解向量.
由α1+2α3=0得
α1=0α2一2α3+0α4
即α1可由α2 ,α3 ,α4线性表示,又
r(α1 ,α2 ,α3 ,α4)=3,
所以α2 ,α3 ,α4线性无关,即α2 ,α3 ,α4为A*X=0的一个基础解系,仅(C)入选.
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