2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵 (Ⅰ)验证αi是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B。

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵 (Ⅰ)验证αi是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B。

admin2015-09-14  45
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵
(Ⅰ)验证αi是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 Akαi—λikαi(i=1，2，3，k=1，2，…)，于是有 Bα1=(A5一4A3+E)α1=(λ15一4λ1
解析 本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用。
本题中方阵B=f(A)为方阵A的多项式，其中多项式f(t)=t5一4t3+1．我们知道，若λ为方阵A的一个特征值，则f(λ)为f(A)=B的一个特征值。但是，为什么能由A的全部特征值为λ1，λ2，λ3而断言f(λ1)，f(λ2)，f(λ3)为B的全部特征值呢?对此问题，可有以下几种推导方法：
(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关，知向量组α1，α2，α3线性无关，从而知α2，α3线性无关，再由Bα3=α2，Bα3=α3，知1为B的特征值，且对应的线性无关特征向量至少有2个，故知1至少为B的二重特征值。又因3阶矩阵B的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有3个，故知B的全部特征值为一2，1，1．
(2)由3阶矩阵A有3个互不相同的特征值1，2，一2，或由A为实对称矩阵，知A可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使

于是有
Q-1BQ=Q-1(A5一4A3+E)Q=Q-1A5Q一4Q-1A3Q+E
=(Q-1AQ)5一4(Q-1AQ)3+E=D5一4D3+E
即矩阵B与对角矩阵M相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故知B的全部特征值为一2，1，1．
(3)也可以直接利用下面更为一般的结论：设n阶矩阵A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为λ1，λ2，…，λn，则对于任一多项式f(t)，n阶矩阵，(A)的全部特征值为f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn)。
另外，需要指出，由方程x1一x2+x3=0所求基础解系，即B的属于特征值1的线性无关特征向量虽然不是唯一的，从而所得相似变换矩阵P不是唯一的，但由B=Pdiag(一2，1，1)P-1所计算出的矩阵B却是唯一的。例如，也可由x1—x2+x3=0解得B的属于特征值1的线性无关特征向量为(1，1，0)T，(一1，1，2)T，从而可取相似对角化的变换矩阵为
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考研数学三

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