首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵 (Ⅰ)验证αi是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵 (Ⅰ)验证αi是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。
admin
2015-09-14
47
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一2,且α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量。记B=A
5
一4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵
(Ⅰ)验证α
i
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案
(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λ
i
的特征向量为α
i
(i=1,2,3),由特征值的定义与性质,有 A
k
α
i
—λ
i
k
α
i
(i=1,2,3,k=1,2,…),于是有 Bα
1
=(A
5
一4A
3
+E)α
1
=(λ
1
5
一4λ
1
解析
本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用。
本题中方阵B=f(A)为方阵A的多项式,其中多项式f(t)=t
5
一4t
3
+1.我们知道,若λ为方阵A的一个特征值,则f(λ)为f(A)=B的一个特征值。但是,为什么能由A的全部特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
而断言f(λ
1
),f(λ
2
),f(λ
3
)为B的全部特征值呢?对此问题,可有以下几种推导方法:
(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关,知向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,从而知α
2
,α
3
线性无关,再由Bα
3
=α
2
,Bα
3
=α
3
,知1为B的特征值,且对应的线性无关特征向量至少有2个,故知1至少为B的二重特征值。又因3阶矩阵B的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有3个,故知B的全部特征值为一2,1,1.
(2)由3阶矩阵A有3个互不相同的特征值1,2,一2,或由A为实对称矩阵,知A可相似对角化,即存在可逆矩阵Q,使
于是有
Q
-1
BQ=Q
-1
(A
5
一4A
3
+E)Q=Q
-1
A
5
Q一4Q
-1
A
3
Q+E
=(Q
-1
AQ)
5
一4(Q
-1
AQ)
3
+E=D
5
一4D
3
+E
即矩阵B与对角矩阵M相似,由于相似矩阵有相同的特征值,故知B的全部特征值为一2,1,1.
(3)也可以直接利用下面更为一般的结论:设n阶矩阵A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则对于任一多项式f(t),n阶矩阵,(A)的全部特征值为f(λ
1
),f(λ
2
),…,f(λ
n
)。
另外,需要指出,由方程x
1
一x
2
+x
3
=0所求基础解系,即B的属于特征值1的线性无关特征向量虽然不是唯一的,从而所得相似变换矩阵P不是唯一的,但由B=Pdiag(一2,1,1)P
-1
所计算出的矩阵B却是唯一的。例如,也可由x
1
—x
2
+x
3
=0解得B的属于特征值1的线性无关特征向量为(1,1,0)
T
,(一1,1,2)
T
,从而可取相似对角化的变换矩阵为
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jqU4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
党的十八大以来,以习近平同志为核心的党中央坚持以马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观为指导,坚持解放思想、实事求是、与时俱进、求真务实,坚持辩证唯物主义和历史唯物主义,紧密结合新的时代条件和实践要求,以全新的视野深化对共
商品经济得以产生的社会历史条件有
在中国古代哲学中,实践主要是指道德伦理行为;在西方哲学史上,关于实践也有不少论述,如康德把实践看成理性自主的道德活动,费尔巴哈把实践等同于生物适应环境的活动。这些看法都没有看到实践在人类认识和整个社会生活中的决定意义。马克思科学阐明了人类实践的本质及其特征
农村贫困人口脱贫的标准是稳定实现“两不愁三保障”。“两不愁三保障”中的“三保障”是指
劳动力是指人的劳动能力,是人的体力和脑力的总和。劳动力成为商品的基本条件有
在纷繁复杂的社会生活中,明确应当坚持和提倡。什么,反对和抵制什么,从而为自身判断行为得失,作出道德选择,确定价值取向,提供基本的价值准则和行为规范。这就需要树立()。
设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则().
已知二次型f(x1,x2,x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3的正、负惯性指数都是1,则a=().
设n元二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX,其中AT=A.如果该二次型通过可逆线性变换X=CY可化为f(y1,y2,…,yn)=YTBY,则以下结论不正确的是().
设A与B均为n,阶矩阵,且A与B合同,则().
随机试题
药物降低心肌自律性的方式有
翼腭窝位于
妊娠晚期无痛性反复阴道流血高血压、水肿、蛋白尿
水泥的性能主要取决于()。
下列项目中,属于形状公差的项目有()。
导致金融危机的首要因素是金融因素,其中涉及()。
根据票据法律制度的规定,下列选项中,属于禁止背书转让的汇票有()。
某电商准备“双十一”囤积一批货物,前10天囤积了1/3。后来改进了工作方式,效率比原来提高了25%,这样,完成全部任务比原计划提前的天数为:
某公司有员工100名,为调查员工的工作幸福感现状,该公司计划从这100名员工中抽取20名员工进行调查,100名员工中有y名年龄超过45岁,x名年龄不满35岁,员工年龄在36到44岁的有25名,为了使调查更科学,人力资源管理部门采取分层抽样的方法,从y名员工
目前我国微机上汉字内部码采用的是( )。
最新回复
(
0
)