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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵 (Ⅰ)验证αi是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量。记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵 (Ⅰ)验证αi是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵B。
admin
2015-09-14
49
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一2,且α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量。记B=A
5
一4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵
(Ⅰ)验证α
i
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(Ⅱ)求矩阵B。
选项
答案
(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λ
i
的特征向量为α
i
(i=1,2,3),由特征值的定义与性质,有 A
k
α
i
—λ
i
k
α
i
(i=1,2,3,k=1,2,…),于是有 Bα
1
=(A
5
一4A
3
+E)α
1
=(λ
1
5
一4λ
1
解析
本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用。
本题中方阵B=f(A)为方阵A的多项式,其中多项式f(t)=t
5
一4t
3
+1.我们知道,若λ为方阵A的一个特征值,则f(λ)为f(A)=B的一个特征值。但是,为什么能由A的全部特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
而断言f(λ
1
),f(λ
2
),f(λ
3
)为B的全部特征值呢?对此问题,可有以下几种推导方法:
(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关,知向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,从而知α
2
,α
3
线性无关,再由Bα
3
=α
2
,Bα
3
=α
3
,知1为B的特征值,且对应的线性无关特征向量至少有2个,故知1至少为B的二重特征值。又因3阶矩阵B的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有3个,故知B的全部特征值为一2,1,1.
(2)由3阶矩阵A有3个互不相同的特征值1,2,一2,或由A为实对称矩阵,知A可相似对角化,即存在可逆矩阵Q,使
于是有
Q
-1
BQ=Q
-1
(A
5
一4A
3
+E)Q=Q
-1
A
5
Q一4Q
-1
A
3
Q+E
=(Q
-1
AQ)
5
一4(Q
-1
AQ)
3
+E=D
5
一4D
3
+E
即矩阵B与对角矩阵M相似,由于相似矩阵有相同的特征值,故知B的全部特征值为一2,1,1.
(3)也可以直接利用下面更为一般的结论:设n阶矩阵A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,则对于任一多项式f(t),n阶矩阵,(A)的全部特征值为f(λ
1
),f(λ
2
),…,f(λ
n
)。
另外,需要指出,由方程x
1
一x
2
+x
3
=0所求基础解系,即B的属于特征值1的线性无关特征向量虽然不是唯一的,从而所得相似变换矩阵P不是唯一的,但由B=Pdiag(一2,1,1)P
-1
所计算出的矩阵B却是唯一的。例如,也可由x
1
—x
2
+x
3
=0解得B的属于特征值1的线性无关特征向量为(1,1,0)
T
,(一1,1,2)
T
,从而可取相似对角化的变换矩阵为
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