2. 考研
  3. 设随机变量X的概率密度为 f(x)=a/(ex+e-x)(一∞＜x＜+∞)， 对X作两次独立观察，没两次的观察值为X1，X2，令 。 (Ⅰ)求常数a及P{X1＜0，X2＞1}； (1I)求(Y1，Y2)的联合分布。

设随机变量X的概率密度为 f(x)=a/(ex+e-x)(一∞＜x＜+∞)， 对X作两次独立观察，没两次的观察值为X1，X2，令 。 (Ⅰ)求常数a及P{X1＜0，X2＞1}； (1I)求(Y1，Y2)的联合分布。

admin2021-01-31  123
问题 设随机变量X的概率密度为
    f(x)=a/(ex+e-x)(一∞＜x＜+∞)，
    对X作两次独立观察，没两次的观察值为X1，X2，令
。
    (Ⅰ)求常数a及P{X1＜0，X2＞1}；
    (1I)求(Y1，Y2)的联合分布。
选项
答案(Ⅰ)由[*]，得a=π/2。 因为X1，X2相互独立，所以P{X1＜0，X2＞1}=P{X1＜0}P{X2＞1}， 注意到f(x)为偶函数，所以P{X1＜0}=1/2，于是 [*] (Ⅱ)(Y1，Y2)可能的取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P{Y1=0，Y2=0}=P{X1＞1，X1＞1}=P{X1＞1}P{X2＞1}=[1-(2/π)arctane]2， P{Y1=0，Y2=1}=P{X1≤1，X2＞1}=P{X1≤1}P{X2＞1} =(2/π)arctane[1-(2/π)arctane]=P{Y1=1，Y2=0}， P{Y1=1，Y2=1}=P{X1≤1，X2≤1}=P{X1≤1}P{X2≤1}=(4/π2)arctan2e。
解析
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考研数学三

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