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设f(x)在(0,+∞)内连续,f(1)=3,且∫1xyf(t) dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt,其中x,y∈(0,+∞),求f(x).
设f(x)在(0,+∞)内连续,f(1)=3,且∫1xyf(t) dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt,其中x,y∈(0,+∞),求f(x).
admin
2016-12-16
61
问题
设f(x)在(0,+∞)内连续,f(1)=3,且∫
1
xy
f(t) dt=x∫
1
y
f(t)dt+y∫
1
x
f(t)dt,其中x,y∈(0,+∞),求f(x).
选项
答案
在等式两边依次对x,y求导,有 y (xy)=∫
1
y
f(t)dt+yf (x), xf(xy)=xf(y)+∫
1
x
f(t) dt.① 在式①两边对x求导得到 f(xy)+xyf’(xy)=f(y)+f(x).② 取x=1,由式②得到 f(y)+yf’(y)=f(y)+3, 得f’(y)=[*],积分得 f(y)=31ny+C. 由f(1)=3,知C=3,所以 f(y)=3(lny+1), 即 f(x)=3(lnx+1).
解析
在所给等式两边分别对x,y求导.为去掉积分号需对x两次求导,再将f(1)=3代入化为f(y)所满足的一阶微分方程解之,求得f(y),即f(x).
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考研数学三
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[*]
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