2. 考研
  3. 设f(x)在(0，+∞)内连续，f(1)=3，且∫1xyf(t) dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，其中x，y∈(0，+∞)，求f(x)．

设f(x)在(0，+∞)内连续，f(1)=3，且∫1xyf(t) dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，其中x，y∈(0，+∞)，求f(x)．

admin2016-12-16  62
问题 设f(x)在(0，+∞)内连续，f(1)=3，且∫1xyf(t) dt=x∫1yf(t)dt+y∫1xf(t)dt，其中x，y∈(0，+∞)，求f(x)．
选项
答案在等式两边依次对x，y求导，有 y (xy)=∫1yf(t)dt+yf (x)， xf(xy)=xf(y)+∫1xf(t) dt．① 在式①两边对x求导得到 f(xy)+xyf’(xy)=f(y)+f(x)．② 取x=1，由式②得到 f(y)+yf’(y)=f(y)+3， 得f’(y)=[*]，积分得 f(y)=31ny+C． 由f(1)=3，知C=3，所以 f(y)=3(lny+1)， 即 f(x)=3(lnx+1)．
解析 在所给等式两边分别对x，y求导．为去掉积分号需对x两次求导，再将f(1)=3代入化为f(y)所满足的一阶微分方程解之，求得f(y)，即f(x)．
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考研数学三

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