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考研
设y(x)为可导函数,且满足y(0)=2及+y(x)=∫0x2y(t)dt+ex,则y(x)=________.
设y(x)为可导函数,且满足y(0)=2及+y(x)=∫0x2y(t)dt+ex,则y(x)=________.
admin
2022-03-23
40
问题
设y(x)为可导函数,且满足y(0)=2及
+y(x)=∫
0
x
2y(t)dt+e
x
,则y(x)=________.
选项
答案
[*]
解析
由题设知y(0)=2,
=-y(x)+∫
0
x
2y(t)dt+e
x
,右边对x可导,所以
存在,于是可推得
y"+y’-2y=e
x
,y’(0)=-1 (*)
按解微分方程规范步骤解之如下。
特征方程
r
2
+r-2=(r-1)(r+2)=0
解得特征根r
1
=-2,r
2
=1,对应的齐次方程的通解为
Y=C
1
e
-2x
+C
2
e
x
设相应的非齐次线性微分方程的一个特解为
y
*
=Axe
x
代入(*)式可解得A=
,从而y
*
=
xe
x
,故微分方程的通解为
y=C
1
e
-2x
+C
2
e
x
+
xe
x
再由初始条件,y(0)=2,y’(0)=-1,可得特解
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kBR4777K
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考研数学三
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