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设A是一个n阶方阵,满足A2=A,R(A)=r,且A有两个不同的特征值. (Ⅰ)试证A可对角化,并求对角阵A; (Ⅱ)计算行列式|A-2E|.
设A是一个n阶方阵,满足A2=A,R(A)=r,且A有两个不同的特征值. (Ⅰ)试证A可对角化,并求对角阵A; (Ⅱ)计算行列式|A-2E|.
admin
2017-11-09
56
问题
设A是一个n阶方阵,满足A
2
=A,R(A)=r,且A有两个不同的特征值.
(Ⅰ)试证A可对角化,并求对角阵A;
(Ⅱ)计算行列式|A-2E|.
选项
答案
(Ⅰ)设λ是A的特征值,由于A
2
=A,所以λ
2
=λ,且A有两个不同的特征值,从而A的特征值为0和1. 又因为A
2
=A,即A(A-E)=O,故R(A)+R(A-E)=n 事实上,因为A(A-E)=O,所以 R(A)+R(A-E)≤n 另外,由于E-A同A-E的秩相同,则有 n=R(E)=R[(E-A)+A]≤R(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E), 从而R(A)+R(A-E)=n 当λ=时,因为R(A-E)=n-R(A)=n-r,从而齐次线性方程组(E-A)χ=0的基础解系含有r个解向量,因此,A属于特征值1有r个线性无关特征向量,记为η
1
,η
2
,…,η
r
. 当λ=0时,因为R(A)=r,从而齐次线性方程组(0.E-A)χ=0的基础解系含n-r个解向量.因此,A属于特征值0有n-r个线性无关的特征向量,记为η
r+1
,η
r+2
,…,η
n
. 于是η
1
,η
2
,…,η
n
是A的n个线性无关的特征向量,所以A可对角化,并且对角阵为 A=[*] (Ⅱ)令P=(η
1
,η
2
,η
3
,…,η
n
),则A=PAP
-1
,所以 |A-2E|=|PAP
-1
-2E|=|A-2E|=[*]=|-E
r
|-|-2E
n-r
| =(-1)
r
(-2)
n-r
-(一1)
n
2
n-r
.
解析
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考研数学三
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