试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

admin2019-03-21  30

问题 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

选项

答案[详解1] 对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 [*], 当a=0时,r(A)=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0. 由此得基础解系为 η1=(-1,1,0,0)T, η2=(-1,0,1,0)T, η3=(-1,0,0,1)T, 于是所求方程组的通解为 x=k1η1+k2η2+k3η3,其中k1,k2,k3为任意常数. 当a≠0时, [*], 当a=-10时,r(A)=3<4,故方程组也有非零解,其同解方程组为 [*] 由此得基础解系为 η=(1,2,3,4)T, 所以所求方程组的通解为 x=kη,其中k为任意常数. [详解2] 方程组的系数行列式 [*] 当|A|=0,即a=0或a=-10时,方程组有非零解. 当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 故方程组的同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0. 其基础解系为 η1=(-1,1,0,0)T, η2=(-1,0,1,0)T, η3=(-1,0,0,1)T, 于是所求方程组的通解为 x=k1η1+k2η2+k3η3,其中k1,k2,k3为任意常数. 当a=-10时,对A作初等行变换,有 [*] 故方程组的同解方程组为 [*] 其基础解系为η=(1,2,3,4)T, 所以所求方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数.

解析 [分析]  此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.   
    [评注]  化增广矩阵为阶梯形时,只能施行初等行变换,这一点是值得注意的.
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