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试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
admin
2019-03-21
53
问题
试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
选项
答案
[详解1] 对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 [*], 当a=0时,r(A)=1<4,故方程组有非零解,其同解方程组为 x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=0. 由此得基础解系为 η
1
=(-1,1,0,0)
T
, η
2
=(-1,0,1,0)
T
, η
3
=(-1,0,0,1)
T
, 于是所求方程组的通解为 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+k
3
η
3
,其中k
1
,k
2
,k
3
为任意常数. 当a≠0时, [*], 当a=-10时,r(A)=3<4,故方程组也有非零解,其同解方程组为 [*] 由此得基础解系为 η=(1,2,3,4)
T
, 所以所求方程组的通解为 x=kη,其中k为任意常数. [详解2] 方程组的系数行列式 [*] 当|A|=0,即a=0或a=-10时,方程组有非零解. 当a=0时,对系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 故方程组的同解方程组为 x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=0. 其基础解系为 η
1
=(-1,1,0,0)
T
, η
2
=(-1,0,1,0)
T
, η
3
=(-1,0,0,1)
T
, 于是所求方程组的通解为 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+k
3
η
3
,其中k
1
,k
2
,k
3
为任意常数. 当a=-10时,对A作初等行变换,有 [*] 故方程组的同解方程组为 [*] 其基础解系为η=(1,2,3,4)
T
, 所以所求方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数.
解析
[分析] 此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.
[评注] 化增广矩阵为阶梯形时,只能施行初等行变换,这一点是值得注意的.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kFV4777K
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考研数学二
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