(2017年)设a0=1,a1=0,的和函数. (Ⅰ)证明幂级数的收敛半径不小于1; (Ⅱ)证明(1一x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(一1,1)),并求S(x)的表达式.

admin2018-07-24  55

问题 (2017年)设a0=1,a1=0,的和函数.
(Ⅰ)证明幂级数的收敛半径不小于1;
(Ⅱ)证明(1一x)S’(x)-xS(x)=0(x∈(一1,1)),并求S(x)的表达式.

选项

答案(Ⅰ)因为a0=1,a1=0, [*] 所以0≤an+1≤1. 记R为幂级数[*]的收敛半径.当|x|<1时,因为|anxn|≤|x|n且级数[*]收敛, 所以幂级数[*]绝对收敛,于是(一1,1)[*](一R,R),故R≥1. (Ⅱ) [*] 解方程(1一x)S’(x)-xS(x)=0得 [*] 由S(0)=a0=1得C=1,故 [*]

解析
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