设f(x)在区间[0，a]上严格递增且连续，f(0)=0，g(x)为f(x)的反函数，试证成立等式：∫0af(x)dx=∫0f(a)[a-g(x)]dx．

admin2022-11-23 58

问题设f(x)在区间[0，a]上严格递增且连续，f(0)=0，g(x)为f(x)的反函数，试证成立等式：∫₀^af(x)dx=∫₀^f(a)[a-g(x)]dx．

选项

答案设y=f(x)，则x=g(y)，注意到f(0)=0，故 ∫₀^af(x)dx=∫_f(0)^f(a)yd(g(y))=yg(y)｜_f(0)^f(a)-∫_f(0)^f(a)g(y)dy =f(a)g(f(a))-∫₀^f(a)g(y)dy=af(a)-∫₀^f(a)g(x)dx =∫₀^f(a)[a-g(x)]dx．

解析

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考研数学三

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