2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3， (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3， (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。

admin2021-01-28  61
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3，
    (Ⅰ)求矩阵A的特征值；
    (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。
选项
答案(Ⅰ)令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆， 所以(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+3α25α1-α2α1-α2+4α3， 从而A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)[*]，于是有A～B， 由｜λE-B｜=[*]=(λ+4)(λ-4)2=0。 得A的特征值为λ1=-4，λ2=λ3=4。 当λ1=-4时，由(-4E-B)X=0得ζ1=[*]； 当λ2=λ3=4时，由(-4E-B)X=0得[*] 令P1=(ζ1，ζ2，ζ3)=[*] 因为P-1AP=B，所以 P1-1P-1APP1=P1-1BP1=[*] 取Q=PP1=(-α1+α2，5α1+3α2，α1+3α3，则Q-1AQ=[*]。
解析
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考研数学三

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