已知微分方程y’+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数. 若f(x)是周期为T的函数,证明:方程存在唯一的以T为周期的解.

admin2022-09-08  28

问题 已知微分方程y’+y=f(x),其中f(x)是R上的连续函数.
若f(x)是周期为T的函数,证明:方程存在唯一的以T为周期的解.

选项

答案设y(x)为方程的任意解,则y’(x+T)+y(x+T)=f(x+T).    而f(x)周期为T,有f(x+T)=f(x).    又y’(x)+y(x)=f(x),    故y’(x+T)+y(x+T)-y’(x)-Y(x)=0,有{ex[y(x+T)-y(x)]}’=0,    即 ex[y(x+T)-y(x)]=C.    取C=0得y(x+T)-y(x)=0,则y(x)为唯一以T为周期的解.

解析
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