已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解．

admin2022-09-08 39

问题已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数．
若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解．

选项

答案设y(x)为方程的任意解，则y’(x+T)+y(x+T)=f(x+T)．　　而f(x)周期为T，有f(x+T)=f(x)．　　又y’(x)+y(x)=f(x)，　　故y’(x+T)+y(x+T)-y’(x)-Y(x)=0，有{e^x[y(x+T)-y(x)]}’=0，　　即 e^x[y(x+T)-y(x)]=C．　　取C=0得y(x+T)-y(x)=0，则y(x)为唯一以T为周期的解．

解析

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考研数学一

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