2. 考研
  3. 抛物线y=x2上任意点(a ，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引另一切线L2，L2与L1垂直， (Ⅰ)求L1与L2交点的横坐标x1； (Ⅱ)求 L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a)； (Ⅲ)问a＞0取向值时S(a)取最小值。

抛物线y=x2上任意点(a ，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引另一切线L2，L2与L1垂直， (Ⅰ)求L1与L2交点的横坐标x1； (Ⅱ)求 L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a)； (Ⅲ)问a＞0取向值时S(a)取最小值。

admin2020-12-17  131
问题 抛物线y=x2上任意点(a ，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引另一切线L2，L2与L1垂直，
(Ⅰ)求L1与L2交点的横坐标x1；
(Ⅱ)求 L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积S(a)；
(Ⅲ)问a＞0取向值时S(a)取最小值。
选项
答案(Ⅰ)抛物线y=x2在点(a，a2)处的切线为L1：y=a2+2a(x-a)，即y=2ax-a2，另一点(b，b2)处的切线为L2：y=b2+2b(x-b)，即y=2bx-b2，由L1与L2垂直→2b=[*]，b=[*]。 它们的交点(x1，y1)满足2ax1-a2=2bx1-b2，x1=[*]。 于是[*]。 (Ⅱ) L1，L2与y=x2所围图形的面积 [*] 由x1的表达式知，x1-b=a-x1→[*] (Ⅲ)求导解最值问题，由[*]→a=[*]时s(a)取最小值。 [*]
解析
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考研数学三

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