2. 考研
  3. (2003年)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (I)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(z)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的

(2003年)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (I)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(z)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的

admin2018-03-11  102
问题 (2003年)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。
    (I)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(z)满足的微分方程；
    (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解。
选项
答案(I)将题中的[*]变换成以x为自变量y为因变量的导数[*]来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有 [*] 代入原方程，得 y"一y=sinx。 (*) (Ⅱ)方程(*)所对应的齐次方程为y"一y=0，特征方程为r2一1=0，根r1,2=±1，因此通解为Y=C1 ex+C2e-x。 设方程(*)的特解为y*=Acosx+Bsinx，则 y*′=一Asinx+Bcosx，y*"=一Acosx—Bsinx， 代入方程(*)，得 一Acosx一Bsinx—Acosx一Bsinx=一2Acosx一2Bsinx=sinx， 解得A=0，[*]从而y"一y=sinx的通解为 [*] 由y(0)=0，[*]得C1=1，C2=一1。故变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y′(0)=[*]的解为 [*] 且y(x)的导函数[*]满足题设y′≠0条件。
解析
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考研数学一

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