设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量．若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．

admin2022-11-28 17

问题设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量．
若A²α+Aα-6α=0，求P^-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．

选项

答案[*] 　由A²α+Aα-6α=0，　得(A²+A-6E)α=0，　即(A+3E)(A-2E)α=0，　由α≠0得(A²+A-6E)x=0有非零解，　故丨(A+3E)(A-2E)丨=0，　得丨A+3E丨=0或丨A-2E丨=0，　若丨A+3E丨≠0，则有(A-2E)α=0，故Aα=2α与题意矛盾，　故丨A+3E丨=0，同理可得丨A-2E丨=0，　于是A的特征值为λ₁=﹣3，λ₂=2．　A有2个不同特征值，故A可相似对角化．

解析

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