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f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0,证明:存在ξ∈[0,1],使得 f’(ξ)=2∫01 f(x)dx.
f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0,证明:存在ξ∈[0,1],使得 f’(ξ)=2∫01 f(x)dx.
admin
2015-07-22
53
问题
f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0,证明:存在ξ∈[0,1],使得
f’(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上连续,所以f’(x)在[0,1]上有最小值和最大值,设为m,M, 即有x
1
,x
2
∈[0,1],使f’(x
1
)=m,f’(x
2
)=M. 由中值定理,对任意x∈[0,1],存在η∈(0,x),使f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x,于是有 f’(x
1
)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x
2
)x, 积分得 f’(x
1
)∫
0
1
xdx≤∫
0
1
f(x)dx≤f’(x
2
)∫
0
1
xdx, 即 [*] f’(x
1
)≤∫
0
1
f(x)dx≤[*] f’(x
1
),即f’(x
1
)≤2 ∫
0
1
f(x)dx≤f’(x
2
). 因为f’(x)在[0,1]上连续,由介值定理,必有 ξ∈[x
1
,x
2
][*] [0,1],或ξ∈[x
1
,x
1
][*][0,1],使f’(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx.
解析
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0
考研数学三
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