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f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01 f(x)dx．
f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01 f(x)dx．
admin
2015-07-22
54
问题
f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
f’(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx．
选项
答案
因为f(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M， 即有x
1
，x
2
∈[0，1]，使f’(x
1
)=m，f’(x
2
)=M． 由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x，于是有 f’(x
1
)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x
2
)x， 积分得 f’(x
1
)∫
0
1
xdx≤∫
0
1
f(x)dx≤f’(x
2
)∫
0
1
xdx， 即 [*] f’(x
1
)≤∫
0
1
f(x)dx≤[*] f’(x
1
)，即f’(x
1
)≤2 ∫
0
1
f(x)dx≤f’(x
2
)． 因为f’(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有 ξ∈[x
1
，x
2
][*] [0，1]，或ξ∈[x
1
，x
1
][*][0，1]，使f’(ξ)=2∫
0
1
f(x)dx．
解析
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0
考研数学三
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