2. 考研
  3. f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01 f(x)dx．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01 f(x)dx．

admin2015-07-22  59
问题 f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
    f’(ξ)=2∫01 f(x)dx．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M， 即有x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M． 由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x，于是有 f’(x1)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x， 积分得 f’(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f’(x2)∫01xdx， 即 [*] f’(x1)≤∫01f(x)dx≤[*] f’(x1)，即f’(x1)≤2 ∫01 f(x)dx≤f’(x2)． 因为f’(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有 ξ∈[x1，x2][*] [0，1]，或ξ∈[x1，x1][*][0，1]，使f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
解析
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考研数学三

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